群论基础

群的定义

定义

A group is a set $G$, together with a map of $G\times G$ into G (denoted $g_1 * g_2$) with some basic properties

群的基本属性

封闭性 Closure

$$\forall g_1, g_2\in G\quad s.t.\quad g_1 * g_2\in G$$

从$G\times G$到$G$的映射称为群的积(Product)

结合律 Associativity

$$\forall g_1, g_2\in G\quad s.t.\quad g_1*(g_2*g_3) = (g_1*g_2)*g_3$$

单位元 Identity Element

$$\forall g\in G,\quad \exists e\in G,\quad s.t.\quad g*e=e*g=g$$

单位元$e$是唯一的，单位元与群内元素的乘积为该元素本身。

阿贝尔群和逆元 Abelian and Inverse

$$\forall g\in G, \quad \exists h\in G, \quad s.t. \quad g*h=h*g=e$$

阿贝尔群的群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关，即阿贝尔群具备交换律；

群本身没有交换律存在，称上述公式中$h$为$g$的逆元(Inverse Element)，每个元素的逆元唯一存在。记群内元素$g$的逆元为$g^{-1}$

基本属性总结

Given a set and an operation, there are four things that must be checked to show that this is a group:

• Closure

• Associativity

• existence of an Identity

• existence of Inverses

群可以被视为一个拥有封闭性，满足结合律且有单位元和逆元的二元运算的集合$(G, *)$，阿贝尔群满足交换律。

证明

Uniqueness of the Identity

群的单位元是唯一存在的：

$$\begin{aligned} &假设群内存在两个单位元e和f，则存在如下关系：\\ &\qquad e为单位元，则根据定义可知：e*f=f\\ &\qquad f为单位元，则根据定义可知：e*f=e\\ &\qquad 则可知：e=e*f=f \end{aligned}$$

Uniqueness of the Inverses

群内元素的逆元是唯一存在的：

$$\begin{aligned} 假设群内元素g存在两个逆元&h和k，则存在如下关系:\\ g*h=g&*k=e\\ h*(g*h)&=h*(g*k)\\ (h*g)*h&=(h*g)*k\\ e*h&=e*k\\ h&=k\\ \end{aligned}$$

Properties of Inverses

$$\forall g,h\in G,\quad (g^{-1})^{-1}=g,\quad e^{-1}=e,\quad (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$$

证明一：假设$m$为$g$的逆元，则$(g^{-1})^{-1}=m^{-1}=g$

证明二：$e*e=e$，则根据定义可知$e=e^{-1}$

证明三：群满足封闭性，则$h^{-1}g^{-1}\in G$，$h^{-1}g^{-1}*gh=h^{-1}(g^{-1}g)h=h^{-1}eh=h^{-1}h=e$，即为$h^{-1}g^{-1}=(gh)^{-1}$

群的例子

加法群

The integers under addition

Closure: $\forall z_1,z_2\in \mathbb{Z},\exists z_1+z_2\in\mathbb{z}$

两个整数的和必然是一个整数，则$(\mathbb{Z},+)$满足封闭性

Associativity: addition is associative

加法必然满足结合律，则$(\mathbb{Z},+)$满足结合律

Identity: $\forall z\in\mathbb{Z},\exists 0\in\mathbb{Z},\quad s.t.\quad 0+z=z+0=z$

唯一存在单位元0，则$(\mathbb{Z},+)$存在单位元

Inverses: $\forall z\in\mathbb{Z},\exists(-z)\in\mathbb{Z},\quad s.t.\quad z+(-z)=(-z)+z=0$

每个元素存在唯一的逆元，则$(\mathbb{Z},+)$存在逆元

Commutativity: addition is commutative

加法必然满足交换律，则$(\mathbb{Z},+)$是阿贝尔群

The real numbers under addition

证明类似于整数，$(\mathbb{R},+)$是一个阿贝尔群，该定义可推广至$\mathbb{R}^n$上：$n-$ dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^n$ with vector addition

乘法群

Non-zero real numbers under multiplication

$(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \times)$ 是一个阿贝尔群，因为它满足群的基本属性且存在交换律：

• Closure: $\forall r_1,r_2\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\exists r_1\times r_2 \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

• Associativity、Commutativity: the real numbers’ multiplication is associative and commutative also.

• Identity: $\forall r\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\exists 1\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad s.t.\quad r\times 1=1\times r= r$

• Inverses: $\forall r\in \mathbb{R}\setminus\{0\},\exists \frac{1}{r}\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad s.t.\quad r\times \frac{1}{r}=\frac{1}{r}\times r= 1$

记$(\mathbb{R}\setminus\{0\}, \times)$为$\mathbb{R}^*$

Non-zero complex numbers under multiplication

证明思路同$\mathbb{R}^*$类似，单位元为1。记$(\mathbb{C}\setminus\{0\}, \times)$为$\mathbb{C}^*$，该群为阿贝尔群

Complex numbers absolute value one under multiplication

假设存在两个模为1的复数$a+bi$和$c+di$，则可得如下关系：

$$\begin{aligned} (a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i\\ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2&=a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\ &=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\ &=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)\\ &=a^2+b^2\\ &=1 \end{aligned}$$

集合满足在乘法下的封闭性，其单位元为1，该群被记作为$S^1$，是一个阿贝尔群。

其他常用群

General Linear Group 一般线性群

$n$阶可逆矩阵$(n\ge2)$，在矩阵乘法下构成一般线性群(General Linear Group)，记作$\mathrm{GL}(n;\mathbb{R})$。

$\mathrm{GL}(n;\mathbb{R})$不是阿贝尔群（即不具备交换性），这是由矩阵乘法的性质决定的。该群的单位元为$n$阶单位矩阵$E$。

Symmetric Group 置换群

定义集合G为集合${1, 2, 3,\dots,n}$上双射（既单射 one-to-one 又满射 onto ）的集合，且定义合成映射$(g\circ h)(x)=g(h(x))$，则称$(G,\circ)$为置换群，记作$S_n$。

$S_n$有$n!$个元素，其单位元为Identity Map ( 1 to 1, 2 to 2, n to n)

Integers mod n

集合${0, 1, 2, \dots, n-1}$在加法取模n下是一个阿贝尔群，记作$\mathbb{Z}_n$:

集合内任意两个元素$a,b$相加后取模n:

• 若$a+b\ge n$则取模n后属于集合$(a+b) mod n \in \mathbb{Z}_n$

• 若$a+b< n$则取模n等于其本身，$a+b \in \mathbb{Z}_n$

• 综上，集合满足封闭性

单位元为0，逆元为$n-a$

子群、群同态

子群 Subgroups

定义

A subgroup of a group $G$ is a subset $H$ of $G$ with some properties:

• 封闭性(Closure): $\forall h_1,h_2\in H, \quad\exists\quad h_1h_2\in H$

• 单位元(Identity): The identity is an element of $H$

• 逆元(Inverses): $\forall h\in H,\quad\exists\quad h^{-1}\in H$

Trivial Subgroups 平凡子群

每个群$G$至少存在两个子群：1.它自身$G$；2.仅由单位元构成的子群$\{e\}$，称为平凡子群。

Special Linear Group 特殊线性群

行列式为1的$n$阶矩阵是一般线性群的一个子群，称为实数上的特殊线性群$\mathrm{SL}(n;\mathbb{R})$

群中心和直乘

Center

The center of a group $G$ is the set of all $g\in G$ such that $\forall h\in G,\quad gh=hg$

群的中心也是一个群，任何群$G$的中心都是它自身的子群$G$

Direct Product

给定群$G$和$H$，令$g\in G$，$h\in H$，则定义群$G$和$H$的笛卡尔积如下：

$$(g_1,h_1)(g_2, h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)$$

称该操作为在$G$和$H$上的直乘，记作$G\times H$，直乘的结果是一个群，它的单位元素为$(e_1,e_2)$，其中$e_1$和$e_2$分别为$G$和$H$的单位元素。

同态、同构、核

同态 Homomorpohism

从群$G$到$H$的映射$\Phi:\:G\:\to \:H$若满足$\forall g_1,g_2\in G,\:\Phi(g_1g_2)=\Phi(g_1)\Phi(g_2)$，则称这个映射$\Phi$是从群$G$到$H$的群同态。

$$\begin{aligned} &群G和H的单位元为e_1和e_2，映射\Phi:G\:\to\:H,则:\\ &\qquad\qquad 1.\Phi(e_1)=\Phi(e_2)\\ &\qquad\qquad 2.\Phi(g^{-1})=\Phi(g)^{-1}\\ \end{aligned}$$

核 Kernel

映射$\Phi:\:G\to\:H$是一个由群$G$到$H$的同态，群$H$的单位元为$e$，则同态的核定义如下：

$$\mathrm{ker}\:\Phi=\{g\:|\:g\in G,\Phi(g)=e\}$$

从群$G$到$H$的同态的核$\mathrm{kel}\:\Phi$是群$G$的一个子群

同构 Isomorphism

若映射$\Phi$是双射的 (one-to-one and onto)，则称其为同构。

若一个群和它自身是同构的，则称其为自同构(Automorphism)。

若存在一个从群$G$到$H$的同构，则称$G$和$H$是同构的，记作$G\cong H$